Zuerst muss man al definieren, was man mit "Invasiv" meint. Hier mal die Definition laut Wikipedia:
Als biologische Invasion bezeichnet man allgemein die durch Menschen verursachte Ausbreitung einer gebietsfremden Art in einem Gebiet, in dem sie ursprünglich nicht heimisch war.[1]
nach dieser Definition ist der Tinenfischpilz in Deutschland/Europa eine "invasive Art". Aber biologische Invasion an sich ist ja nicht gut oder schlecht. Sie ist zunächst schlicht die Folge der modernen Gesellschaft, die durch Schiffs- und Flugverkehr topologische Grenzen (die ursprünglich dafür sorgten, dass Arten nicht aus/einwandern können) aufhebt, dazu kommt der Handel mit lebenden Pflanzen, nicht selten mit Mycel im Substrat. Eine weitere wichtige Ursache ist der Klimawandel. All diese Effekte kann man im Grunde kaum beherrschen.
Wichtiger ist die Frage, was die biologische Invasion einer Art in ein Gebiet dort auslöst. Es kann durchaus zu paralleler Koexistenz kommen, aber eben auch zu Verdrängung oder gar Schädigung einheimischer Arten. Gute Beispiele für Verdrängung sind Pflanzen wie das Orientalisches Zackenschötchen oder Sommerflieder. Die Arten breiten sich in freier Wildbahn stark aus und verdrängen so einheimische Arten. Beispiele für invasive Arten, die die heimische Fauna aktiv schädigen sind bspw. das Falsches Weißes Stängelbecherchen, welches bekanntermaßen für das Eschentriebsterben verantwortlich ist und mittlerweile eine europaweite Bedrohung für die heimische Eschenpopulation darstellt.
Aber es gibt eben auch Arten, die einigermaßen folgenlos eingeschleppt wurden und keine nennenswerten Auswirkungen auf die heimische Flora und Fauna haben. Dazu würde ich auch den Tintenfischpilz zählen, aber auch Insekten wie die mittlerweile sehr häufige Schwarzblaue Holzbiene.
Neuseeland ist ein Sonderfall, weil die Inseln weit abgelegen vom Festland liegen und sich deshalb über Millionen von Jahren eine ganz eigene Fauna/Flora entwickeln konnte. Viele Pflanzen und Tiere gibt es nur dort. Werden Arten dort verdrängt, sind sie ganz ausgestorben. Bspw. gab es in Neuseeland keine Nesträuber, weswegen sich viele Laufvogelarten (bspw. der Kiwi) entwickeln konnten. Leider wurde das Opossum eingeschleppt, welches zahlreiche Vogelarten zum Aussterben oder kurz davor gebracht hat. Auch wurden insbesondere Fichte und Kiefer "importiert", um die abgeholzten Urwälder wieder aufzuforsten. In diesen Forsten kann man dann klassische europäische Kiefer-/Fichtenpilze finden wie Steinpilze, Butterpilze etc. Diese Forste haben aber allerdings mit der Ursprünglichen Fauna gar nichts mehr zu tun.
Insofern sind eingeschleppte Tiere und Pflanzen dort ein großes Problem und werden örtlich stark bekämpft. In den zahlreichen Nationalparks werden invasive Bäume und Pflanzen aktiv bekämpft, so kann man dort oft abgestorbene Kiefern beobachten (diese werden von Park-Rangern "vergiftet" und so zum absterben gebracht). Opossum-Fallen sind überall gegenwärtig, und es gibt sogar eine Fangprämie.