Solche Pilze sind Zersetzer von organischen Material. Er "isst" bestimmt kein Kunstrasen und nicht die darunter liegenden Steinfliesen. Vermutlich ist Dreck unter dem Kunstrasen und das reicht dem da schon. Ich würde es lustig finden und den Pilz einfach stehen lassen. Ich denk auch nicht, dass Deine Katze den frisst.
Um welche Art es sich handelt kann man so nicht sagen, selbst bei der Gattung müsste man raten. Der Pilz ist viel zu klein, viel zu weit weg und kann alles mögliche sein. Um ihn genau zu bestimmen, solltest Du verschiedene Fotos aus verschiedenen Perspektiven hier einstellen. Mit kompletten Stiel und vor allem auch von unten.
Ansonsten - wenn er Dich stört, mach ihn einfach ab. Und mach Dir keine Sorgen wegen dem Mycel, das frisst sich nicht durch die Fliesen und durchs darunter liegende Gebäude.